Question

若2sin²α+sin²β-2sinα=0，則cos²α+cos²β的取值范圍是（A[1，5]，B[1，2]，C [1，

9

4

]，D[-1，2]）（　　）

A．A、

B．B、

C．C、

D．D、

Answer 1

分析：根據已知等式，得到sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，可以解出sinα的取值范圍是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1，結合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得關于sinα的二次函數：y═（sinα-1）²+1，其中sinα∈[0，1]，由此不難求出cos²α+cos²β的取值范圍．

解答：解：∵2sin²α+sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，
可得0≤sinα≤1，cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（2sin²α-2sinα+1）
=2-2sinα+sin²α=（sinα-1）²+1．
∵0≤sinα≤1，
∴當sinα=0時，cos²α+cos²β有最大值為2，
當sinα=1時，cos²α+cos²β有最小值1．
∴1≤cos²α+cos²β≤2．
故選B

點評：本題給出兩個角α、β的正余弦的一個等式，在此基礎上求α、β余弦的平方和的取值范圍．主要考查了同角三角函數的關系和二次函數在閉區間上的值域等知識點，屬于中檔題．