Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：任取x₁、x₂兩數使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進而根據函數為奇函數推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，進而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關系，進而證明出函數的單調性．

解答：解：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函數，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
據已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．解題時要注意把未知條件拼湊出已知條件的形式，達到解題的目的．