Question

己知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點T（m，4）到其焦點的距離為．
（I）求p與m的值；
（II）如圖，過點M（0，1）作兩條直線l₁，l₂，l_l與拋物線交于點A，B，l₂與拋物線交于點E，F，且直線AE，BF交于點P，直線AF，BE交于點Q，求證：是定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由拋物線方程得其準線方程：y=-
根據拋物線定義，點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，
即4+=，解得p=
∴拋物線方程為：x²=y，
將A（m，4）代入拋物線方程可得m²=4，解得m=±2
（II）證明：直線l₁的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯立，消去y可得x²-kx-1=0
設A（x₁，），B（x₂，），∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
設E，F，則可得x₃x₄=-1
直線AE的斜率是k_AE=x₁+x₃，方程為y=（x₁+x₃）x-x₁x₃
同理直線BF的方程為y=（x₂+x₄）x-x₂x₄
設P（m₁，n₁），則，=-1
同理可得Q（，-1）
∴=（，-2），=（，-2）
∴==-1+4=3為定值．
分析：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程，進而根據拋物線定義可知點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，求得p，則拋物線方程可得，把點A代入拋物線方程即可求得m．
（II）設直線l₁的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯立，進而可得直線AE、BF；AF，BE的方程，從而可得P、Q的坐標，利用向量的數量積公式，即可得證．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．