Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，AB⊥BC，D為BC邊上異于B、C的一點，以AB為直徑作⊙O，并分別交AC，AD于點E，F．
（Ⅰ）證明：C，E，F，D四點共圓；
（Ⅱ）若D為BC的中點，且AF=3，FD=1，求AE的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連結EF，BE，則∠ABE=∠AFE，因為AB是⊙O是直徑， 所以，AE⊥BE，又因為AB⊥BC，∠ABE=∠C，
所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，
∴C，E，F，D四點共圓．
（Ⅱ）解：因為AB⊥BC，AB是直徑，
所以，BC是圓的切線，DB2=DFDA=4，即BD=2，
所以，AB= =2 ，
因為D為BC的中點，所以BC=4，AC= =2 ，
因為C、E、F、D四點共圓，所以AEAC=AFAD，

即2 AE=12，即AE=
【解析】（Ⅰ）連結EF，BE，說明AB是⊙O是直徑，推出∠ABE=∠C，然后證明C，E，F，D四點共圓．（Ⅱ）利用切割線定理求解BD，利用C、E、F、D四點共圓，得到AEAC=AFAD，然后求解AE．