Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且橢圓C上的點到橢圓右焦點F的最小距離為 .
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F且不與坐標軸平行的直線l與橢圓C交于A,B兩點，線段AB的中點為M， O為坐標原點，直線 的斜率分別為 若成等差數列，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解: 點F的坐標為 ,由題意可得:

得

∴橢圓C的方程為

（2）解: 設點 ,又 ,故直線l的方程可設為 ,

由 ,得 ,

.

又 成等差數列，

,即 ，故直線l的方程為 ，

即

【解析】(1)由橢圓的離心率可得出a與c的關系,進而可得出當點位于右頂點時到橢圓右焦點F的最小距離為：a-c=-1,再結合橢圓里的關系求出a和b的值故得到橢圓的方程。(2)先設出直線l的方程代入橢圓的方程結合韋達定理以及中點坐標的公式，即可求得MP的方程然后求得x0、y0關于t的代數式，再利用直線的斜率成等差數列得到關于t的方程，解出其值就求出了斜率的斜率，再利用直線的斜截式求出直線的方程。
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線的斜率(一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα)．