Question

【題目】對于函數f（x），若f（x）的圖象上存在關于原點對稱的點，則稱f（x）為定義域上的“偽奇函數”．

（1）若f（x）＝ln（2x+1）+m是定義在區間[﹣1，1]上的“偽奇函數”，求實數m的取值范圍；

（2）試討論f（x）＝4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否為“偽奇函數”？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數f（x）為“偽奇函數”，當時，函數f(x)不是“偽奇函數”.

【解析】

（1）等價于﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，令，，利用函數的單調性分析得到2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4，

解之即得.（2）假設存在實數x滿足題意，等價于（2x+2﹣x）2﹣2﹣4m（2x+2﹣x）+8m2﹣6＝0有解，令n＝2x+2﹣x（n≥2），則需n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，再分類討論得解.

（1）因為f（x）＝ln（2x+1）+m是定義在區間[﹣1，1]上的“偽奇函數”，

所以存在x使得f（x）+f（﹣x）＝0成立，

即﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，

令，，

而函數在上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，

故由復合函數的單調性法則可知，

函數g（t）在上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，

且，

故要使﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，

則2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4，

解得.

（2）假設存在實數x使得4x﹣m2x+2+4m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+2+4m2﹣3＝0成立，

即4x+4﹣x﹣4m/span>2x﹣4m2﹣x+8m2﹣6＝0，

即（2x+2﹣x）2﹣2﹣4m（2x+2﹣x）+8m2﹣6＝0，

令n＝2x+2﹣x（n≥2），則需n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，

①當△＝16m2﹣4（8m2﹣8）＜0，即或時，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0無解，此時函數f（x）不為“偽奇函數”；

②當時，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解為滿足條件，此時函數f（x）為“偽奇函數”；

③當時，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解為不滿足條件，此時函數f（x）不為“偽奇函數”；

④當時，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解為，

解不等式或，

不等式的解為，

不等式的解為，

因為，所以.

此時方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，此時函數f（x）為“偽奇函數”．

綜上所述，當時，函數f（x）為“偽奇函數”，當時，函數f(x)不是“偽奇函數”.