【題目】已知函數
，
，且曲線
與
在
處有相同的切線.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求證：
在
上恒成立；
（Ⅲ）當
時，求方程
在區間
內實根的個數.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)2.
【解析】
試題分析：
(Ⅰ)函數有相同的切線，則
，
，據此計算可得；
(Ⅱ)構造函數，令
，原問題等價于
在
上恒成立，討論函數的單調性可得
，即
在上恒成立.
(Ⅲ)構造函數
，其中
，結合導函數討論函數的單調性有
.構造函數
，則
在
內單調遞減，
，據此討論可得
在區間
內有兩個零點，即方程
在區間內實根的個數為2.
試題解析：
（Ⅰ）∵
，
，，
∴
.
∵
，
，
∴
，
.
∵，即
，
∴
.
（Ⅱ）證明：設，
.
令
，則有
.
當
變化時，
的變化情況如下表：
∴，即在上恒成立.
（Ⅲ）設，其中，
.
令
，則有
.
當變化時，
的變化情況如下表：
∴ .
，
設，其中
，則
，
∴在內單調遞減，，
∴
，故
，而
.
結合函數的圖象，可知在區間內有兩個零點，
∴方程在區間內實根的個數為2.
期末集結號系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產甲乙兩種產品所得的利潤分別為
和
(萬元),它們與投入資金
(萬元)的關系為:
.今將300萬資金投入生產甲乙兩種產品,并要求對甲乙兩種產品的投入資金都不低于75萬元.
(1)設對乙種產品投入資金
(萬元),求總利潤
(萬元)關于的函數;
(2)如何分配投入資金,才能使總利潤最大?并求出最大總利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學用“五點法”畫函數
在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
| 0 |
|
|
|
|
|
|
| |||
| 0 | 2 | 0 | 0 |
（1）請將上表數據補充完整；函數
的解析式為
= （直接寫出結果即可）；
（2）求函數
的單調遞增區間；
（3）求函數
在區間
上的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩臺機床生產同一型號零件．記生產的零件的尺寸為
（cm)，相關行業質檢部門規定：若
，則該零件為優等品；若
，則該零件為中等品；其余零件為次品．現分別從甲、乙機床生產的零件中各隨機抽取50件，經質量檢測得到下表數據：
尺寸 |
|
|
|
|
|
|
甲零件頻數 | 2 | 3 | 20 | 20 | 4 | 1 |
乙零件頻數 | 3 | 5 | 17 | 13 | 8 | 4 |
（Ⅰ）設生產每件產品的利潤為：優等品3元，中等品1元，次品虧本1元.若將頻率視為概率，試根據樣本估計總體的思想，估算甲機床生產一件零件的利潤的數學期望；
（Ⅱ）對于這兩臺機床生產的零件，在排除其它因素影響的情況下，試根據樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“零件優等與否和所用機床有關”，并說明理由.
參考公式：
.
參考數據：
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0.010
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
6.635
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