Question

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，O）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且長(zhǎng)軸是短軸的2倍，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（2，O）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，分橢圓的焦點(diǎn)在x軸上和橢圓的焦點(diǎn)在y軸上兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的a，b值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由（1）可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題設(shè)可知|BO|和|AO|的值，設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，進(jìn)而可表示出四邊形AEBF的面積進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．

解答：解：（1）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由A（2，O）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
則a=2，
又∵橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，
故此時(shí)b=1
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+y2=1
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，由A（2，O）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
則b=2，
又∵橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，
故此時(shí)a=4
此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

16

=1
（2）由（1）得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+y2=1
則|BO|=1，|AO|=2．
設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂
=

(x2+2y2)2

=

2x22+4y22+4x2y2

≤

2(x22+4y22)

=2

2

，
當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大．