Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第行共有個(gè)正整數(shù).設(shè)（i、j∈N*）表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù).

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；

（Ⅱ）記N*)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,

（Ⅱ）當(dāng)，2，3時(shí),   當(dāng)時(shí)，

解析:

（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)表中前i－1行共有個(gè)數(shù)，則第i行的第一個(gè)數(shù)是，所以                                  （2分）

因?yàn)?img width=107 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/81/12281.gif" >，＝2010，則i－1＝10，即i＝11．              （4分）

令，則.            （5分）

（Ⅱ）因?yàn)?img width=99 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/85/12285.gif" >，則N*).           （6分）

所以.

所以.       （7分）

檢驗(yàn)知，當(dāng)，2，3時(shí)，，即.       （8分）

猜想：當(dāng)時(shí)，.                （9分）

證法一：當(dāng)時(shí),

                     . （12分）

綜上分析，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.    （13分）

證法二：① 當(dāng)時(shí)，，所以成立.  （10分）

② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.

則.

因?yàn)?img width=516 height=44 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/113/12313.gif" >，

所以，即當(dāng)時(shí)，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時(shí), 成立.

綜上分析，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.        （13分）