Question

已知函數對于定義域內任意一個x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，-1）上是增函數．

Answer 1

解：（1）因為f（-x）=-f（x）
即（2分）
所以-ax+b=-ax-b
∴b=0，（4分）
又f（1）=2，所以，
∴a=1（6分）
（2）由（1）得
設x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實數，且x₁＜x₂，
則=，（9分）
因為x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）（11分）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函數（12分）
分析：（1）由已知中函數對于定義域內任意一個x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2，可構造一個關于a，b的方程組，解方程組，即可得到a，b的值；
（2）任意區間（-∞，-1）上的兩實數，且x₁＜x₂，構造出f（x₁）-f（x₂），并判斷其符號，進而根據函數單調性的定義，即可得到f（x）在（-∞，-1）上是增函數．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數解析式的求法，其中（1）的關鍵是根據已知條件，構造一個關于a，b的方程組，（2）的關鍵是熟練掌握定義法（作差法）證明函數單調性的方法和步驟．