Question

【題目】如圖, 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn), 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段下方（含）的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直線(xiàn)方程拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求得AB垂直平分線(xiàn)的方程，把y=-5代入求得Q的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P到直線(xiàn)OQ的距離求得三角形的高，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得OQ的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．

解：(1) 解方程組得或

即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).

由,

直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)方程

令, 得, ∴

(2)直線(xiàn)OQ的方程為x+y=0, 設(shè)

∵點(diǎn)P到直線(xiàn)OQ的距離d==,,

∴=.

∵P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方的點(diǎn), 且P不在直線(xiàn)OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時(shí), ΔOPQ的面積取到最大值30