Question

已知函數(shù)．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)（m＞0且m≠1），令t=x²-1，利用換元法，易求出f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的定義域，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）由（1）得出函數(shù)f（x）的解析式，再將所要求解的對(duì)數(shù)方程去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的分式方程求解即得．
解答：解：（1）令t=x²-1（t≥-1）
則x²=t+1
∵
∴=
∴
要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x須滿足：-1＜x＜1
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）
又∵=-f（x）
故函數(shù)為奇函數(shù)
（2）由（1）得：
，
故原方程化為：，
得：，
解得：x=-1+，或x=-1-（負(fù)值舍去）
故方程的解是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性判斷及其證明，反函數(shù)，是函數(shù)問題比較綜合的考查，有一定的難度，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．