Question

已知拋物線D的頂點是橢圓Q：

x2

4

+

y2

3

=1的中心O，焦點與橢圓Q的右焦點重合，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線D上的兩個動點，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|（Ⅰ）求拋物線D的方程及y₁y₂的值；
（Ⅱ）求線段AB中點軌跡E的方程；
（Ⅲ）求直線y=

1

2

x與曲線E的最近距離．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)橢圓的方程求出橢圓的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線與橢圓的右焦點相同，得到拋物線的焦點坐標(biāo)，進(jìn)而求出p得到拋物線方程；再結(jié)合|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 的對應(yīng)結(jié)論

OA

⊥

OB

，以及兩點在拋物線上即可求出y₁y₂的值；
（Ⅱ）根據(jù)|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 的對應(yīng)結(jié)論

OA

⊥

OB

，設(shè)出兩直線方程；再聯(lián)立直線OA與拋物線方程求出點A的坐標(biāo)，同理求出點B的坐標(biāo)，消去變量k，即可得到線段AB中點軌跡E的方程；
（Ⅲ）求出與直線y=

1

2

x平行且與曲線E相切的直線方程，再求兩平行線之間的距離即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px
由a²-b²=4-3=1?c=1．
∴拋物線的焦點為（1，0），∴p=2
∴拋物線方程為y²=4x（2分）
∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線上的兩個動點，
所以：y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴（y₁y₂）²=16x₁x₂．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

| 
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴

(y1y2)2

16

+y1y2=0?y1y2(

y1y2

16

+1)=0
∵y₁y₂≠0
∴y₁y₂=-16．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|∴

OA

⊥

OB

，
設(shè)OA：y=kx，OB：y=-

1

k

x
由

y=kx y2=4x

?A（

4

k2

，

4

k

）．同理可得B（4k²，-4k）
設(shè)AB的中點為（x，y），則由

x= 2 k2 +2k 2 y= 2 k -2k

消去k，得y²=2x-8．（10分）
（Ⅲ）設(shè)與直線y=

1

2

x平行的直線x-2y+m=0．
由題設(shè)可知直線x-2y+m=0應(yīng)與曲線E：y²=2x-8相切
由

y2=2x-8 x-2y+m=0

消去x整理得：y²-4y+2m+8=0．
所以△=16-4（2m+8）=0?m=-2
∴直線y=

1

2

x 與x-2y-2=0之間的距離即為直線y=

1

2

x與曲線E的最近距離．
所以所求距離為：d=

|0-(-2)|

12+(-2)2

=

2 5

5

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，