Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其焦距為2c，若

c

a

=

5 -1

2

（≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數(shù)列．
（2）黃金橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（c，0），P為橢圓C上的任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)F₂、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足

RP

=-3

PF2

？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由

c

a

=

5 -1

2

及b²=a²-c²，求得b與ac的關(guān)系，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可推斷a、b、c成等比數(shù)列．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），進(jìn)而可表示出R的坐標(biāo)根據(jù)及

RP

=-3

PF2

，進(jìn)而表示出P的坐標(biāo)，把P點(diǎn)代入橢圓的方程整理后可解得k存在，求出k．
（3）根據(jù)“黃金雙曲線”的定義寫出真命題．依題意可知直線EF₂的方程為bx+cy-bc=0，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離化簡(jiǎn)后求得d=a，進(jìn)而可知
直線EF₂與圓x²+y²=a²相切，同理可證直線EF₁、DF₁、DF₂均與圓x²+y²=a²相切，命題得證．

解答：解：（1）證明：由

c

a

=

5 -1

2

及b²=a²-c²，得b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac，
故a、b、c成等比數(shù)列．
（2）解：由題設(shè)，顯然直線l垂直于x軸時(shí)不合題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F₂（c，0），及

RP

=-3

PF2

，
得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3c

2

，

kc

2

)，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，
所以

( 3c 2 )2

a2

+

( kc 2 )2

b2

=1，
又b²=ac，得

9

4

(

c

a

)2+

k2

4

•

c

a

=1，k2=

13-5 5

2

＞0，
故存在滿足題意的直線l，其斜率k=±

13-5 5 2

．
（3）在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），以F₁（-c，0）、F₂（c，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點(diǎn)的菱形F₁DF₂E的內(nèi)切圓過(guò)頂點(diǎn)A（-a，0）、B（a，0）．
證明：直線EF₂的方程為bx+cy-bc=0，原點(diǎn)到該直線的距離為d=

bc

b2+c2

，
將b²=ac代入，得d=

c ac

ac+c2

=

c a

a+c

，又將c=

5 +1

2

a代入，
化簡(jiǎn)得d=a，
故直線EF₂與圓x²+y²=a²相切，
同理可證直線EF₁、DF₁、DF₂均與圓x²+y²=a²相切，
即以A（-a，0）、B（a，0）為直徑的圓x²+y²=a²為菱形F₁DF₂E的內(nèi)切圓，命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．