Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，側面是邊長為2的正三角形， , .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設是棱上的點，當平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得平面，利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.

(2)建立空間直角坐標系，結合平面的法向量和題意可得二面角的余弦值是.

試題解析：

（1）取中點，連接， ，因為是邊長為2的正三角形，所以， ，

∵，∴， ，

∴，

∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）連接交于，連接，

∵平面，∴，

又為的中點，∴為的中點.

以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ， .

設平面的一個法向量為，

由得取，得.　

由圖可知，平面的一個法向量，

∴，

∴二面角的余弦值為.