Question

設二次方程，有兩根和，且滿足，
（1）試用表示；
（2）證明是等比數列；
（3）設，，為的前n項和，證明，（）。

Answer 1

（1），；（2）見解析；（3）

本題是對數列的遞推關系以及韋達定理和等比數列知識的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎，屬于中檔題．
（1）直接利用韋達定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得
（2）對（1）的結論兩邊同時減去 ，整理即可證：數列{a_n- }是等比數列；
（3）先利用（2）求出數列{a_n- }的通項公式，即可求數列{a_n}的通項公式和，然后利用錯位相減法得到結論。
（1）即，可推出，
（2），且
∴是以為首項，公比為的等比數列；
（3），  


兩式相減得  
整理得