Question

【題目】如圖所示，在多面體ABCDE中，△BCD是邊長為2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中點．
（Ⅰ）求證：BF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：如圖，取BD中點O，連接OC，OA，
∵△BCD為正三角形，∴OC⊥BD，
∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD，
∴OC⊥面ABDE，則OC⊥OA，
又AE∥DB，AE⊥DE，AE= ，
∴OA⊥OD．
以O為坐標原點，分別以OC、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則B（0，﹣1，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（ ）．
， ，
∵ ，∴ ，即BF⊥CD；
（Ⅱ）解： ， ， ．
設平面BCF的一個法向量為 ，
由 ，得 ，取x1=1，得 ．
設平面BFD的一個法向量 ，
由 ，得 ，取x2=1，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角C﹣BF﹣D的余弦值為
【解析】（Ⅰ）取BD中點O，連接OC，OA，由題意可證OC、OD、OA兩兩互相垂直．以O為坐標原點，分別以OC、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出B，C，D，E，F的坐標，得到 的坐標，由 ，可得 ，即BF⊥CD；（Ⅱ）分別求出平面BCF與平面BFD的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣BF﹣D的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．