Question

在某個QQ群中有n名同學在玩一種叫“數字哈哈鏡”的游戲．這些同學編號依次為1，2，3，…．，n..在哈哈鏡中，每個同學看到的像用數對（p，q）表示．規則如下：編號為k的同學看到的像為（a_k，a_k+1），且滿足a_k+1-a_k=k（k∈N*），已知編號為1的同學看到的像為（5，6），則編號為4的同學看到的像為

（11，15）

；某位同學看到的像為（195，q），其中q的值被遮住了，請你幫這位同學猜出q=

215

．

Answer 1

分析：由游戲規則中“編號為k的同學看到像為（p，q）中的（a_k，a_k+1），編號為k+1的同學看到像為（a_k+1，a_k+2），這樣就找到了游戲進行的一個聯系，同時注意到a_k+1-a_k=k（k∈N*），至此，本題中的題意就浮現出來．

解答：解：（1）由題意規律，編號為1的同學看到的像是（5，6），
∴編號為2的同學看到的像是（6，8），
編號為3的同學看到的像是（8，11），
編號為4的同學看到的像是（11，15）．
（2）設編號為n的同學看到的像是（b_n，a_n），
則b₁=5，a₁=6，當n≥2時，b_n=a_n-1．
由題意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+3+…n=

(n+2)(n-1)

2

．．
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

，
bn=an-n=

n2-n+10

2

，
當bn=an-n=

n2-n+10

2

=195時，n=20，
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

=

400+20+10

2

=215．
故答案為：（11，15），215．

點評：本題以QQ作為背景、以數字哈哈鏡面游戲規則形式給出信息，考查學生閱讀信息、搜集信息、加工信息的能力．考查靈活運用數列知識分析問題與解決問題的能力．