Question

如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v＞0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c∈R）．E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與|v-c|×S成正比，比例系數為

1

10

；（2）其它面的淋雨量之和，其值為

1

2

，記y為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=

3

2

時．
（Ⅰ）寫出y的表達式
（Ⅱ）設0＜v≤10，0＜c≤5，試根據c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少．

Answer 1

分析：（Ⅰ）E移動時的總淋雨量應該等于單位時間內的淋雨量乘以所用的時間，可先求出單位時間內的淋雨量的式子，再乘以時間

100

v

即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質，將（Ⅰ）中的函數分解為分段函數的形式，再由c的不同取值范圍討論函數的單調性，在不同的情況下，單調區間不同，總淋雨量最小值對應的v值也不同．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為

3

20

|v-c|+

1

2

，故
                      y=

100

v

(

3

20

|v-c|+

1

2

) =

5

v

(3|v-c|+10)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
當0＜v≤c時，y=

5

v

(3c-3v+10)=

5(3c+10)

v

-15
當c≤v≤10時，y=

5

v

(3v-3c+10)=

5(-3c+10)

v

+15
故  y=

5(3c+10) v -15       0＜v≤c 5(10-3c) v +15       c＜v≤10

 
（1）當0＜c≤

10

3

時，y是關于v的減函數，故當v=10時，ymin=20-

3c

2

；
（2）當

10

3

＜c≤5時，在（0，c]上y是關于v的減函數，
在（c，10]上，y是關于v的增函數，
故當v=c時，ymin=

50

c

答：（Ⅰ）函數y的表達式為y=

100

v

(

3

20

|v-c|+

1

2

) =

5

v

(3|v-c|+10)
（Ⅱ）（1）在0＜c≤

10

3

的情況下，當v=10時，總淋雨量y最少；
     （2）在

10

3

＜c≤5的情況下，當v=c時，總淋雨量y最少．

點評：本題著重考查函數應用能力，所建立的函數式為含有絕對值的式子．解決問題的關鍵一是要能根據v的范圍將式子化簡為分段函數，二是要將常數c進行討論得出函數的單調性，從而得出不同情形下的最小值點．