Question

某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品在該售價的基礎上每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．（14分）
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據題意可得每件產品的利潤為50+x-40，此時的銷量為210-10x，進而可得每個月的銷售利潤為y元與每件商品的售價上漲x元的關系式，結合實際，即既要漲價，還應保證銷量不能為負值得到自變量x的取值范圍；
（2）根據（1）中所得函數的解析，結合二次函數的圖象和性質及x為正整數，可得每月的最大利潤．

解答：解：（1）當每件商品的售價上漲x元時，
每件產品的利潤為50+x-40，
此時的銷量為210-10x，
∴每個月的銷售利潤為y元與每件商品的售價上漲x元滿足
y=（210-10x）（50+x-40）=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x為正整數）；
（2）y=-10（x-5.5）²+2402.5．
∵a=-10＜0，
∴當x=5.5時，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x為正整數，
當x=5時，50+x=55，y=2400（元），當x=6時，50+x=56，y=2400（元）
∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；

點評：本題考查的知識點是二次函數的應用，函數模型的選擇與應用，其中根據題意分析出每個月的銷售利潤為y元與每件商品的售價上漲x元的關系式，是解答的關鍵．