Question

若二次函數f（x）=x²+bx+c滿足f（2）=f（-2），且函數的f（x）的一個零點為1．
（Ⅰ） 求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意的x∈[

1

2

，+∞)，4m²f（x）+f（x-1）≥4-4m²恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得函數圖象的對稱軸為x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=-1，從而得到函數的解析式．
（Ⅱ）由題意知，得m2≥

1

x2

+

1

2x

-

1

4

在[

1

2

，+∞)上恒成立．令g（x）=

1

x2

+

1

2x

-

1

4

，求得g（x）的最大值

19

4

，從而得到m2≥

19

4

，由此求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（2）=f（-2）且f（1）=0，故函數圖象的對稱軸為x=0，
∴b=0，c=-1，∴f（x）=x²-1．…（4分）
（Ⅱ）由題意知：4m²（x²-1）+（x-1）²-1+4m²-4≥0，在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立，
整理得m2≥

1

x2

+

1

2x

-

1

4

在[

1

2

，+∞)上恒成立．…（6分）
令g（x）=

1

x2

+

1

2x

-

1

4

=(

1

x

+

1

4

)2-

5

16

，
∵x∈[

1

2

，+∞)，∴

1

x

∈(0，2]，…（8分）
當

1

x

=2時，函數g（x）的最大值

19

4

，…（10分）
所以m2≥

19

4

，解得m≤-

19

2

或m≥

19

2

．   …（12分）

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數的恒成立問題，求二次函數在閉區間上的最值，屬于基礎題．