Question

16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分別是A₁C₁、BC₁的中點．
（I）求證：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（II）求證：MN∥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析：（I）欲證B₁C⊥平面A₁B₁C，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證B₁C與平面A₁B₁C內兩相交直線垂直，根據線面垂直的性質知A₁B₁⊥BC₁，連接B₁C，得BC₁⊥B₁C，結論得證；
（II）欲證MN∥平面A₁ABB₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面A₁ABB₁內一直線平行即可，連接A₁B，由M、N分別為A₁C₁、BC₁的中點可得MN∥A₁B．

解答：解：（I）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面A₁B₁C₁．
∴B₁B⊥A₁B₁．
又∵A₁B₁⊥B₁C₁，∴A₁B₁⊥面BCC₁B₁．
∴A₁B₁⊥BC₁，
連接B₁C，∵矩形BCC₁B₁中，BB₁=CB=2，
∴BC₁⊥B₁C，∴B₁C⊥平面A₁B₁C．
（II）連接A₁B，由M、N分別為A₁C₁、BC₁的中點可得，
MN∥A₁B又∵A₁B₁?平面A₁ABB₁，MN?平面A₁ABB₁，
∴MN∥平面A₁ABB₁．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．