Question

對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組	頻數	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合計	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；
（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．

Answer 1

分析：（I）根據頻率，頻數和樣本容量之間的關系即頻率等于頻數除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的值．
（II）根據該校高三學生有240人，分組[10，15）內的頻率是0.25，估計該校高三學生參加社區服務的次數在此區間內的人數為60人．
（III）這個樣本參加社區服務的次數不少于20次的學生共有m+2=6人，設出在區間[20，25）內的人為a₁，a₂，a₃，a₄，在區間[25，30）內的人為b₁，b₂，列舉出所有事件和滿足條件的事件，得到概率．

解答：解：（Ⅰ）由分組[10，15）內的頻數是10，頻率是0.25知，

10

M

=0.25，
∴M=40．
∵頻數之和為40，
∴10+24+m+2=40，m=4.p=

m

M

=

4

40

=0.10．
∵a是對應分組[15，20）的頻率與組距的商，
∴a=

24

40×5

=0.12
（Ⅱ）因為該校高三學生有240人，分組[10，15）內的頻率是0.25，
∴估計該校高三學生參加社區服務的次數在此區間內的人數為60人．
（Ⅲ）這個樣本參加社區服務的次數不少于20次的學生共有m+2=6人，
設在區間[20，25）內的人為a₁，a₂，a₃，a₄，在區間[25，30）內的人為b₁，b₂．
則任選2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（b₁，b₂）15種情況，
而兩人都在[25，30）內只能是（b₁，b₂）一種，
∴所求概率為P=1-

1

15

=

14

15

．

點評：本題考查頻率分步直方圖，考查用樣本估計總體，考查等可能事件的概率，考查頻率，頻數和樣本容量之間的關系，本題是一個基礎題．