Question

【題目】設函數,其中.

（Ⅰ）當時,討論函數的單調性;

（Ⅱ）若函數僅在處有極值,求的取值范圍;

（Ⅲ）若對于任意的,不等式上恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)在,內是增函數,在,內是減函數.(2);(3).

【解析】

（Ⅰ）當時，，解不等式和得到的增區間和減區間.

（Ⅱ），因僅在取極值，故恒成立，故可得的取值范圍.

（Ⅲ）由可知恒成立，結合函數的單調性可知，故由可得的取值范圍.

（Ⅰ）.

當時,

.

令,解得,,.

當變化時,,的變化情況如下表:

	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在,內是增函數,在,內是減函數.

（Ⅱ）,顯然不是方程的根.

為使僅在處有極值,必須恒成立,即有.

解此不等式,得.這時,是唯一極值.

因此滿足條件的的取值范圍是

（Ⅲ）由條件可知,從而恒成立.

當時,;當時,.

因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者.

為使對任意的不等式在上恒成立,當且僅當

即

在上恒成立,

所以,因此滿足條件的的取值范圍是