Question

設函數f(x)=

2x-3

x

，g(x)=lnx．
（1）試判斷當x＞0，g（x）與f（x）的大小關系；
（2）求證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數y=g（x）的圖象上的兩點，且g′（x₀）=

y1-y2

x2-x1

（其中g′（x）為g（x）的導函數），證明：x₀∈（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（1）欲求g（x）與f（x）的大小關系只需判斷F（x）=g（x）-f（x）的正負，利用導數研究函數F（x）的最小值，使最小值與0比較即可；
（2）由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 令x=n（n+1）（n∈N^*），則ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

，從而可證得結論；
（3）根據g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，然后證明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

，等價于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x，利用導數研究最小值與0比較，對于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可證，即可證得結論．

解答：（1）解：設F（x）=g（x）-f（x）（x＞0）
則F′（x）=

1

x

-

3

x2

由F′（x）=0得x=3
當0＜x＜3時，F′（x）＜0；當x＞3時，F′（x）＞0
∴x=3時，F（x） 取得最小值為F（3）=ln3-1＞0 
∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x） …（5分）
（2）證明：由（1）知ln(x+1)＞2-

3

x+1

＞2-

3

x

(x＞-1) 
令x=n（n+1）（n∈N^*），則ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

 …（7分）
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2-

3

1•2

）+（2-

3

2•3

）+…+[2-

3

n(n+1)

]
=2n-3[

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

]
=2n-3（1-

1

n+1

）＞2n-3
∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（10分）
（3）證明：g′(x0)=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
以下證明x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

 
等價于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令h（x）=xlnx₂-xlnx₁-x₂+x …（12分）
則h'（x）=lnx₂-lnx₁，在(0，

x

2

] 上，h'（x）＞0 
所以h（x）在（0，x₂]上為增函數
當x₁＜x₂時h（x₁）＜h（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0 
從而x₀＞x₁，得到證明．對于x2＞

x2-x1

lnx2-lnx1

 同理可證．
所以x₀∈（x₁，x₂）．…（16分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最值，以及利用導數證明不等式，同時考查了轉化的思想，以及考查計算能力，屬于難題．