Question

（本小題滿分14分）

如圖為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一個三棱錐B₁—A₁BC₁后得到的幾何體．

（1） 若點O為底面ABCD的中心，

求證：直線D₁O∥平面A₁BC₁；

（2）_． 求證：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer 1

（1）將其補成正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設B₁D₁和A₁C₁交于點O₁，連接O₁B，依題意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四邊形D₁OB O₁為平行四邊形，                     ……………………4分

    則D₁O∥O₁B，因為BO₁平面BA₁C₁，D₁O平面BA₁C₁，

所以有直線D₁O∥平面BA₁C₁。          ……………………7分

（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

     則DD₁⊥A₁C₁，            ……………………9分

     在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁， …………12分

     又∵DD₁∩B₁D₁= D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，

∵A₁C₁平面A₁BC₁，則平面A₁BC₁⊥平面BD₁D． …………14分