Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＝2，S_n為其前n項(xiàng)和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)b_n＝log₂a_n，c_n＝，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n.若對(duì)?n∈N^*，T_n≤k(n＋4)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝2ⁿ（2）

(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，∵5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，
∴2S₃＝5S₁＋3S₂，即2(a₁＋a₁q＋a₁q²)＝5a₁＋3(a₁＋a₁q)，
化簡(jiǎn)得2q²－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝－不合題意，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝2ⁿ.
(2)由b_n＝log₂a_n得b_n＝log₂2ⁿ＝n，
則c_n＝＝＝－，
T_n＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.
∵n＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝2時(shí)等號(hào)成立，
∴≤，因此k≥，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為