Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）當EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結論；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我們易求出AC⊥BC，結合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面與平面垂直的性質定理，即可得到BC⊥平面ACFE．
（2）以點ABC-A₁B₁C₁為原點，△ABC所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，看出AM∥平面BDF等價于

AM

與

FB

、

FD

共面，也等價于存在實數m、n，使

AM

=m

FB

+n

FD

，根據向量之間的關系得到結論．
（3）要求兩個平面所成的角，根據向量的加減運算做出平面的法向量，二面角B-EF-D的大小就是向量

GD

與向量

FB

所夾的角．根據向量的夾角做出結果．

解答：證明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE
解：（2）當EM=

3

3

a時，AM∥平面BDF，
以點ABC-A₁B₁C₁為原點，△ABC所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則A(

3

a，0，0)，E(

3

a，0，a)
AM∥平面BDF?

AM

與

FB

、

FD

共面，也等價于存在實數m、n，使

AM

=m

FB

+n

FD

，
設

EM

=t

EF

．
∵

EF

=（-

3

a，0，0），

EM

=(-

3

at，0，0）
∴

AM

=

AE

+

EM

=（-

3

at，0，0）
又

FD

=（

3

2

a，-

1

2

a，-a），

FB

=（0，a，-a），
從而要使得：(-

3

at，0，a)=m(0，a，-a)+n(

3

2

a，-

1

2

a，-a)成立，
需

- 3 at= 3 2 an 0=ma- 1 2 an a=-am-an

，解得t=

1

3

∴當EM=

3

3

a時，AM∥平面BDF
（3B（0，a，0），A(

3

a，0，0)，
過D作DG⊥EF，垂足為G．令

FG

=λ

FE

=λ（

3

a，0，0），

CG

=

CF

+

FG

=（

3

aλ，0，a），

DG

=

CG

-

CD

=（

3

λa-

3

2

a，

1

2

a，a）
由

DG

⊥

EF

得，

DG

•

EF

=0，
∴λ=

1

2

∴

DG

=(0，

1

2

a，a)，即

GD

=(0，-

1

2

a，-a)
∵BC⊥AC，AC∥EF，
∴BC⊥EF，BF⊥EF
∴二面角B-EF-D的大小就是向量

GD

與向量

FB

所夾的角．
∵

FB

=（0，a，-a）
cos＜

GD

，

FB

＞=

10

10

，即二面角B-EF-D的平面角的余弦值為

10

10

．

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角和線面之間的關系問題，本題解題的關鍵是建立適當的坐標系，寫出要用的空間向量，把立體幾何的理論推導變成數字的運算，這是新課標高考卷中常見的一種題目．