Question

【題目】已知函數，為實數.

（1）討論函數的單調性；

（2）設是函數的導函數，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）

【解析】

（1）函數求導后，分三種情況討論，結合導函數的正負可求出函數的單調區間（2）根據不等式恒成立，分離參數可得，時恒成立，分別求出左邊的最大值與右邊的最小值即可.

（1）函數的定義域是.

.

（i）當時，令，得；

令，得或，

所以函數在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增；

（ii）當時，對任意恒成立，且不恒為0，

所以函數在上單調遞增；

（iii）當時，令，得；

令，得或，

所以函數在區間上單調遞減，在區間，上單調遞增.

（2）等價于，得，得，

因為，所以.

所以不等式兩邊同時除以，得，

即，

得.

所以.

即對任意恒成立.

設，，，

則，.

所以函數在區間上是增函數，在區間上是增函數.

所以，.

所以.

所以實數的取值范圍是.