Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，若對于[1，2]，
[0，1]，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1) ；（2）遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）.

解析試題分析：(1)將代入，分別得到，，再由點(diǎn)斜式得到在處的切線方程為；（2）將代入得到，從而得到遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）先將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后討論的范圍，又在[1,2]上最小值為.由單調(diào)性及從而得到的取值范圍為.
試題解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/7/10yuh3.png" style="vertical-align:middle;" />
，
當(dāng)時(shí)，，，
，故.
所以在處的切線方程為.
(2)當(dāng)時(shí)，.
故當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），.
(3)由（2）知，在（1,2）上為增函數(shù)，
所以在[1,2]上的最小值為，
若對于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.
又，
當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為增函數(shù)，與題設(shè)不符.
當(dāng)時(shí)，，由及，得；
當(dāng)時(shí)，在[0,1]上為減函數(shù)，及得.
綜上所述，的取值范圍為.
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)；2.直線的方程；3.函數(shù)的單調(diào)性與最值.