Question

給出下列結論：
①若命題p：?x∈R，tanx=1，命題q：?x∈R，x²-x+1＞0，則命題“p∧q“是假命題　
②a+b＞0成立的必要條件是a＞0，b＞0　
③若點O和點F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點，點P為橢圓上任一點，則

OP

•

FP

的最大值為6　
④五進制的數412化為十進制的數為106　
⑤已知函數f（x）在（-∞，+∞）為增函數，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0．
則其中正確結論的序號為

 

．

Answer 1

分析：①由題意知，命題p與命題q全為真命題，則命題“p∧q“是真命題；
②賦值驗證；③由題意表示出向量的數量積的坐標表示，轉化為二次函數在給定區間上的最值問題；
④五進制的數412化為十進制的數為：4×5²+1×5¹+2×5⁰=107；
⑤考慮其逆否命題的真假性．

解答：解：①由于命題p：?x∈R，tanx=1為真命題，
而對于命題q，由于△=（-1）²-4=-3＜0，則x²-x+1＞0恒成立，則命題q也為真命題，
所以命題“p∧q“是真命題，故①錯；
②令a=3，b=-2，顯然滿足a+b＞0，但a＞0，b＜0，故②錯；
③設P（x，y），其中-2≤x≤2，-1≤y≤1，
由題意知，O（0，0），F（-1，0），則

OP

=(x，y)，

FP

=(x+1，y)，

x2

4

+

y2

3

=1
所以

OP

•

FP

=x（x+1）+y² =

1

4

x2+x+3（-2≤x≤2），此二次函數在區間[-2，2]上為減函數，
故

OP

•

FP

的最大值為6，則③正確；
④五進制的數412化為十進制的數為：4×5²+1×5¹+2×5⁰=107，故④錯；
⑤原命題的逆否命題是：已知函數f（x）在（-∞，+∞）為增函數，a，b∈R，若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
以下給出證明，由于a，b∈R，且a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
又由函數f（x）在（-∞，+∞）為增函數，所以f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
即f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．故⑤為真命題．
故答案為③⑤．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，屬于基礎題．我們需對四個結論逐一進行判斷，方可得到正確的結論．