Question

（本小題滿分為１４分）
已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。
（I）證明為定值；
（II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）由已知條件，得F（0，1），
設
即得      
∴         
將①式兩邊平方并把代入得
③
解②、③式得且有

拋物線方程為
求導得
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

即       
解出兩條切線的交點M的坐標為
                         ……4分
所以     

所以為定值，其值為0。                                    ……7分 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|。
|FM|

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y= -1的距離，所以
|AB|=|AF|+|BF|

于是   
                                          ……11分
由    
且當=1時，S取得最小值4，                                      ……14分

略