Question

設m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，給出下列四個命題：
①

C

m n

=

C

n-m n

；       ②在（1+x）ⁿ的展開式中，若只有x⁴的系數最大，則n=7；
③k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；      ④

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n•2n-1．
其中正確命題的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用二項式系數的性質可得①正確，②不正確，由組合數的計算公式可得③正確，根據kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，可得④正確，從而得出結論．

解答：解：由于m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，利用二項式系數的性質可得①

C

m n

=

C

n-m n

成立，故①正確．
②在（1+x）ⁿ的展開式中，若只有x⁴的系數最大，故只有

C

4 n

最大，故n=8，故②不正確．
再由組合數的計算公式可得k

C

k n

=

k•n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，n

C

k-1 n-1

=

n•(n-1)!

(k-1)!•(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
故③正確．
④根據

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+nC_n-1³+…+nC_n-1^n-1
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，故④正確．
綜上，①③④正確，②不正確，
故選C．

點評：本題考查組合數的計算公式和組合數的性質：

C

m n

=

C

n-m n

 以及kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，屬于中檔題．