Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）定義在[p，q]上的一個函數m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=q將區間[p，q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得和式

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，則稱函數m（x）為在[p，q]上的有界變差函數，試判斷函數f（x）是否為在[1，3]上的有界變差函數？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由．（參考公式：

n

i=1

f(x)=f(x1)+f(x2)+…+f（x_n））

Answer 1

分析：（I）由已知中g（x）在區間[2，3]的最大值為4，最小值為1，結合函數的單調性及最值，我們易構造出關于a，b的方程組，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（1）參數a，b的值，代入可得函數解析式，根據二次函數的圖象和性質，可將問題轉化為距離Y軸距離遠的問題，進而構造關于k的方程求出K值．
（III）根據有界變差函數的定義，我們先將區間[1，3]進行劃分，進而判斷

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M是否恒成立，進而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數g（x）=ax²-2ax+1+b，因為a＞0，
所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，
又∵函數g（x）故在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，

g(2)=1 g(3)=4

，
解得

a=1 b=0

；…（5分）
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1為偶函數，
所以不等式f（log₂k）＞f（2）可化為|log₂k|＞2，…（8分）
解得k＞4或0＜k＜

1

4

；…（10分）
（Ⅲ）函數f（x）為[1，3]上的有界變差函數．
因為函數f（x）為[1，3]上的單調遞增函數，
且對任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=3
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_I）＜…＜f（x_n）=f（3）
所以

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）＜…＜f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（3）-f（1）=4恒成立，
所以存在常數M，使得

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立．
M的最小值為4…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，二次函數在閉區間上的最值，新定義，其中（1）的關鍵是分析出函數的單調性，（2）要用轉化思想將其轉化為絕對值比較大小（3）的關鍵是真正理解新定義的含義．