Question

設函數f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

，(x∈R，且x≠

n-1

2

，n∈N*)的最小值為a_n，最大值為b_n，記c_n=（1-a_n）（1-b_n），則數列{c_n}為（　　）

A．是常數列

B．是公比不為1的等比數列

C．是公差不為0的等差數列

D．不是等差數列也不是等比數列

Answer 1

分析：先利用判別式法求出函數的值域，從而求出a_n與b_n，代入c_n=（1-a_n）（1-b_n），然后判定數列{c_n}的規律．

解答：解：令y=f（x）=

x2-x+n

x2+x+1

（x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*），
則y（x²+x+1）=x²-x+n，
整理得：（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0，
△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，
解得：

3+2n-2 n2+1

3

≤y≤

3+2n+2 n2+1

3

．
∴f（x）的最小值為a_n=

3+2n-2 n2+1

3

，
最大值為b_n=

3+2n+2 n2+1

3

，
∴c_n=（1-a_n）（1-b_n）=-

4

3

．
∴數列{c_n}是常數數列
故選A．

點評：本題主要考查了分式函數的值域，以及數列的判定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．