Question

已知

OM

=(cosα，sinα)，

ON

=(cosx，sinx)，

PQ

=(cosx，-sinx+

4

5cosα

)
（1）當cosα=

4

5sinx

時，求函數y=

ON

•

PQ

的最小正周期；
（2）當

OM

•

ON

=

12

13

，

OM

∥

PQ

，α-x，α+x都是銳角時，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=

ON

•

PQ

，

ON

=(cosx，sinx)，

PQ

=(cosx，-sinx+

4

5cosα

)，我們可給出函數的解析式，根據三角恒等變換，我們可將函數的解析式化為余弦型函數的形式，進而根據T=

2π

ω

，求出函數的最小正周期．
（2）因為

OM

=(cosα，sinα)，

ON

=(cosx，sinx)，我們易結合

OM

•

ON

=

12

13

，再根據α-x、α+x是銳角，我們易求出α-x、α+x的三角函數值，再根據2α=（α-x）+（α+x），求出cos2α的值．

解答：解：（1）∵

ON

=(cosx，sinx)，

PQ

=(cosx，-sinx+

4

5cosα

)，
所以y=

ON

•

PQ

=cos2x-sin2x+

4sinx

5cosα

．
又∵cosα=

4

5sinx

，
∴y=cos2x-sin2x+

4sinx

5cosα

=cos2x+sin2x
=cos2x+

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x+

1

2

．
所以該函數的最小正周期是π．

（2）因為

OM

=(cosα，sinα)，

ON

=(cosx，sinx)
所以

OM

•

ON

=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=

12

13

∵α-x是銳角
∴sin(α-x)=

1-cos2(α-x)

=

5

13

∵

OM

∥

PQ

∴-cosαsinx+

4

5

-sinαcosx=0，即sin(α+x)=

4

5

∵α+x是銳角
∴cos(α+x)=

1-sin2(α+x)

=

3

5

∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）
=

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

=

16

65

，即cos2α=

16

65

．

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，三角函數恒等變換，平行（共線）向量，兩角和的余弦公式，解答的關鍵（1）中要將函數的解析式化為余弦型函數的形式，（2）中關鍵是分析已知角與未知角的關系．