Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若點E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論？

Answer 1

分析：（1）四棱錐P-ABCD的體積=

1

3

×菱形ABCD的面積×棱錐的高，由平面PAD⊥平面ABCD，過P作PM⊥AD于M可得高PM，菱形ABCD的面積也可求；
（2）要證AD⊥PB，只需證AD⊥平面PMB，由AD⊥PM，AD⊥BM可證得；
（3）當點F為棱PC的中點時，面DEF⊥面ABCD；因為
【法一】，由AD⊥EF，AD⊥DE證得AD⊥面DEF，從而得面DEF⊥面ABCD；
【法二】，由FO∥PM，PM⊥面ABCD，證得FO⊥面ABCD，從而得面DEF⊥面ABCD．

解答：解：（1）如圖
過P作PM⊥AD于M，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM?平面PAD，
∴PM⊥面ABCD； 
又PA=PD=5，AD=8
∴M為AD的中點，且PM=

52-42

=3，
∵菱形ABCD中，∠BAD=

π

3

，AD=8，
∴V_P-ABCD=

1

3

×8×8×sin

π

3

×3=

1

3

×64×

3

2

×3=32

3

，
∴四棱錐P-ABCD的體積為32

3

；
（2）證明：連接BM，BD；
∵BD=BA=8，AM=DM，∠BAD=

π

3

，∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M，
∴AD⊥平面PMB，
∵PB?平面PMB，
∴AD⊥PB；
（3）能找到，并且點F為棱PC的中點，
證法一：∵F為PC的中點，點E為BC的中點，∴EF∥PB；
又由（2）可知AD⊥PB，∴AD⊥EF，
由AD⊥BM，BM∥DE，∴AD⊥DE；
又AD⊥EF，且DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF；
又AD?面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD；
證法二：設CM∩DE=O，連FO，∴O為MC的中點；
在△PMC中，FO∥PM，
∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，
又FO?面DEF，∴面DEF⊥面ABCD．

點評：本題考查了求棱錐的體積與空間中的線線垂直，線面垂直，面面垂直的性質與判定，是易錯題．