Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的導函數(shù)在上有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域、導函數(shù)，當時，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，可知為的一個零點，要使在上有三個零點，即方程在上有2個不同的實數(shù)根，參變分離將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有2個交點，利用導數(shù)分析的單調(diào)性與最值，即可得到的取值范圍.

解：（1）

.

當時，，

令，得，則，

故當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由，可知為的一個零點，

則方程在上有2個不同的實數(shù)根，

即在上有2個不同的實數(shù)根，

問題等價于函數(shù)與直線有2個交點，

，

令，則，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

.

，且，

，

故實數(shù)a的取值范圍為.