Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A′與A點關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線l過點A，斜率為k，當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為

2

，試求k的值及此時B點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的漸近線為y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1，再由點A關于y=x對稱點的坐標為（0，

2

），能求出雙曲線C的方程．
（2）設直線ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為

2

，設直線l′y=kx+m，應有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，由此能求出k的值及此時B點的坐標．

解答：解：（1）設雙曲線的漸近線為y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1
即漸近線為y=±x，又點A關于y=x對稱點的坐標為（0，

2

）
∴a=

2

=b，所求雙曲線C的方程為y²-x²=2．
（2）設直線ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），
依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為

2

設直線l′y=kx+m，應有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，
化簡得m₂+2

2

km=2②
把l′代入雙曲線方程得（k₂-1）x₂+2mkx+m₂-2=0，
由△=4m₂k₂-4（k₂-1）（m₂-2）=0
可得m₂+2k₂=2③
②、③兩式相減得k=

2

m，代入③得m₂=

2

5

，解得m=

10

5

，k=

2 5

5

，
此時x=

-mk

k2-1

-2

2

，y=

10

，故B（2

2

，

10

）．

點評：本題考查軌跡方程的求法和求k的值及此時B點的坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用雙曲線的性質，合理地進行等價轉化．