Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n=2

Sn

-1（n∈N^*）．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，P_n=

1

S1S2

+

1

S2S3

+…+

1

SnSn_+1

，求2T_n-P_n，并確定最小的正整數(shù)n，使2T_n-P_n＞

13

5

．

Answer 1

分析：（1）先看當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁，進(jìn)而根據(jù)數(shù)列的遞推式，利用a_n+1=S_n+1-S_n求得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0進(jìn)而求得a_n+1-a_n=2
進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)（1）中的a_n可數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得T_n，利用裂項(xiàng)法求得P_n，則2T_n-P_n可求．根據(jù)2T_n-P_n的表達(dá)式可知，隨n的增大，其結(jié)果也增大，進(jìn)而可判斷出n從5開始2T_n-P_n＞

13

5

．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)a1=2

a1

-1∵a1＞0∴a1=1
又由已知Sn=(

an+1

2

)2
∴Sn+1=(

an+1+1

2

)2
∴an+1=Sn+1-Sn=(

an+1+an+2

2

)(

an+1-an

2

)
化簡(jiǎn)得a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0?（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵a_n＞0∴a_n+1-a_n=2
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）
（2）∵an=2n-1∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n22Tn=

2

12

+

2

22

++

2

n2

又

1

SnSn+1

=[

1

n(n+1)

]2=(

1

n

-

1

n+1

)2=

1

n2

+

1

(n+1)2

-

2

n(n+1)

∴Pn=(

1

12

+

1

22

-

2

1•2

)+(

1

22

+

1

32

-

2

2•3

)++(

1

n2

+

1

(n+1)2

)
∴2Tn-Pn=

2

12

-1-

1

(n+1)2

+2(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

)
=1-

1

(n+1)2

+2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

)=3-

1

(n+1)2

-

2

n+1

=4-(

1

n+1

+1)2
隨n的增大A=2T_n-P_n的值也增大n=4時(shí)A=4-

36

25

=

64

25

＜

13

5

n=5時(shí)，A=4-

49

36

=

95

36

＞

13

5

故所求n=5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力．