Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為2，△BCD為正三角形，現將△BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為C′，且CC′= ，連接CC′，E為CC′的中點．

文科：
（1）求證：AC′∥平面BDE；
（2）求證：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱錐C′﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，則在菱形ABCD中，O為AC中點，

又E為CC′的中點，∴OE∥AC′，

∵OE平面BDE，AC′平面BDE，

∴AC′∥平面BDE

（2）證明：由翻折前后可知：

BC=BC′，DC=DC′，

又E為CC′中點，∴BE⊥CC′，DE⊥CC′，

又BE∩DE=E，∴CC′⊥平面BDE

（3）解：連接OE，則由（2）知△CEO為直角三角形，OE⊥BD，

∴BD=2，OE= ，

∴三棱錐C′﹣BCD的體積：

=

=

=

= ．

【解析】（1）連接OE，則OE∥AC′，由此能證明AC′∥平面BDE．（2）由翻折前后可知BE⊥CC′，DE⊥CC′，由此能證明CC′⊥平面BDE．（3）連接OE，三棱錐C′﹣BCD的體積： ，由此能求出結果．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．