Question

已知橢圓C：=1（a>b>1）的離心率為e=，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線
x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P與A，B均不重合，設(shè)直線的斜率分別為k₁，k₂，求k₁·k₂的值；
（3）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：(1)由題意可得圓的方程為，∵直線x-y+2=0與圓相切
∴d==b
即b=，又，即a=c，，得a=，c=1
所以橢圓方程為：
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-，0），則，即
則，即
∴k₁·k₂的值為；
（3）設(shè)M（x，y），其中x∈[-，]
由已知及點P在橢圓C上可得
整理得，其中x∈[-，]
①當時，化簡得y²=6，所以點M的軌跡方程為，
軌跡是平行于x軸的線段；
②當時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓滿足的部分。