Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，且b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=

2

，比較2ⁿ與2a_n的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由題意，得2b_n²=a_n+a_n+1，①
a_n+1²=b_n²b_n+1²，②（1分）
因?yàn)閍_n＞0，b_n＞0，所以由式②得a_n+1=b_nb_n+1，
從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，（3分）
故當(dāng)n≥2時(shí)，2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
∴數(shù)列b_n是等差數(shù)列．（4分）
（II）由a1=1，b1=

2

及式①、②易得a2=3，b2=

3

2

2

，
因此b_n 的公差  d=

2

2

，
從而bn=b1+(n-1)d=

2

2

(n+1)，（5分）
得an+1=

1

2

(n+1)(n+2)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=

n(n+1)

2

，③
又a₁=1也適合式③，
∴an=

n(n+1)

2

(n∈N+)．（6分）
設(shè)P=2ⁿ，Q=2n-n（n+1），
當(dāng)n=1時(shí)，P=Q，當(dāng)n=2，3，4時(shí)，P＜Q
當(dāng)n=5時(shí)，P＞Q，當(dāng)n=6時(shí)，P＞Q
由此猜想當(dāng)n≥5時(shí)，P＞Q（8分）
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)N=5時(shí)，P＞Q顯然成立，（9分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥5）時(shí)，
P＞Q成立，即2ⁿ＞k（k+1）-k²+k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，P=2^K+1=2•2^k＞2k²+2k
=（k²+2k+1）+（k+1）+（k²-k-2）=（k+1）²+（k+1）+（k+1）（k-2）
∵k≥5，∴（k+1）（k-2）＞0即P=2^k+1＞（k+1）²+（k+1）成立．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，P＞Q成立．
由（1）、（2）得，當(dāng)n≥5時(shí)，
P＞Q成立．（11分）
因此，當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ=2a_n，
當(dāng)n=2，3，4時(shí)，2ⁿ＜2a_n，
當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ＞2a_n．（12分）