Question

某校從高一年級學生中隨機抽取60名學生，將其期中考試的數學成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計該校高一年級學生期中考試數學成績的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在80分以上的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2人，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意得分數在[70，80）內的頻率等于1減去得分在[40，70]與[80，100]內的概率．
（Ⅱ）平均數為每個小長方形的面積乘以每個小長方形底邊中點橫坐標的和．
（Ⅲ）由題意，根據直方圖計算出[80，90）分數段的人數為15人；[90，100]分數段的人數為3人；由分層抽樣得在[80，90）與[90，100]分數段抽取人數分別為5人，1人．因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90（分），則另一人的分數一定是在[80，90）分數段，所以只需在分數段[80，90）抽取的5人中確定1人．再利用古典概型計算出事件發生的概率即可．

解答：解：（Ⅰ）分數在[70，80）內的頻率為：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3．
（Ⅱ）平均分為：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）由題意，[80，90）分數段的人數為：0.25×60=15人；     
[90，100]分數段的人數為：0.05×60=3人；     
∵用分層抽樣的方法在80（分）以上（含80分）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴[80，90）分數段抽取5人，分別記為A，B，C，D，E；[90，100]分數段抽取1人，記為M．         
因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90（分），
則另一人的分數一定是在[80，90）分數段，所以只需在分數段[80，90）抽取的5人中確定1人．
設“從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于9（0分）”為事件A，
則基本事件空間包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15種．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5種．
∴恰有1人的分數不低于9（0分）的概率為P(A)=

5

15

=

1

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉頻率分布直方圖并且利用直方圖計算平均數、眾數、中位數；熟練的利用分層抽樣抽取樣本．