Question

已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)•

1

2n+1

≥

2

3

3

對(duì)一切n∈N均成立．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的等差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）只需證明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=1時(shí)，代入不等式左右端，驗(yàn)算可得證．再證明從k到k+1時(shí)，利用分析法思想向要證明的代數(shù)式轉(zhuǎn)化即可證明n=k+1時(shí)也成立，從而結(jié)論得證．

解答：解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得

a1+2d=5 (2a1+d)(a1+3d)=28

…（2分）
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d²+5d-22=0，
解之得d=2或d=-

11

3

．
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均正，∴d=2，∴a₁=1．
∴a_n=2n-1．…（5分）
證明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需證明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥

2

3

3

2n+1

成立．…（7分）
（i）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)≥

2

3

3

2k+1

．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak

)(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+1

(1+

1

ak+1

)=

2

3

3

2k+2

2k+1

…（10分）
以下只需證明

2

3

3

2k+2

2k+1

≥

2

3

3

•

2k+3

．
即只需證明2k+2≥

2k+1

2k+3

．…（11分）
∵(2k+2)2-(

2k+1

•

2k+3

)2=1＞0．
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

ak+1

)≥

2

3

3

2k+3

=

2

3

3

2(k+1)+1

．
綜合（i）（ii）知，不等式對(duì)于n∈N都成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法以及數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大．對(duì)于涉及正整數(shù)的不等式證明問(wèn)題通常通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解決．