Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(diǎn)(4，－).

(1)求雙曲線方程；

(2)若點(diǎn)M(3,m)在此雙曲線上，求·；

(3)求△F₁MF₂的面積.

Answer 1

解:(1)由題意知，雙曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程.

∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x,

∴設(shè)雙曲線方程為x²－y²=λ.

把點(diǎn)(4，－)代入雙曲線方程得

4²－(－)²=λ,λ=6.

∴所求雙曲線方程為x²－y²=6.

(2)由(1)知雙曲線方程為x²－y²=6.

∴雙曲線的焦點(diǎn)為F₁(－2，0)、F₂(2，0).

∵M點(diǎn)在雙曲線上,

∴3²－m²=6,m²=3.

∴·=(－2－3,－m)·(2－3,－m)=(－3)²－(2)²+m²=－3+3=0.

(3)∵·=0，∴MF₁⊥MF₂.

∴△F₁MF₂為直角三角形.

∵||=

=，

||=

=,

∴S=||·||

=·

=6.

點(diǎn)評:本例(1)的解法中利用了“如果雙曲線的漸近線為y=±x時(shí)，那么雙曲線的方程可設(shè)為=λ(λ≠0)”這一結(jié)論.