Question

如圖，在棱長為ɑ的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點．
（1）求直線A₁C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求證：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer 1

分析：（1）確定∠A₁CA為A₁C與平面ABCD所成角，即可求直線A₁C與平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）根據線面平行的判定定理可得：D₁B₁∥平面GEF，同理AB₁∥平面GEF，進而根據面面平行的判定定理可得面面平行；
（3）先證明EF⊥平面AA₁C，再根據面面垂直的判定定理可得面面垂直．

解答：解：（1）∵A₁C∩平面ABCD=C，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁A⊥平面ABCD
∴AC為A₁C在平面ABCD的射影
∴∠A₁CA為A₁C與平面ABCD所成角
∵正方體的棱長為a
∴AC=

2

a，A₁C=

3

a
∴sin∠A₁CA=

A1A

A1C

=

3

3

；
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中連接BD，
因為DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，DD₁BB₁為平行四邊形
所以D₁B₁∥DB．
∵E，F分別為BC，CD的中點
∴EF∥BD，
∴EF∥D₁B₁．
∵EF?平面GEF，D₁B₁?平面GEF，
∴D₁B₁∥平面GEF
同理AB₁∥平面GEF
∵D₁B₁∩AB₁=B₁
∴平面A B₁D₁∥平面EFG．      
（3）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中有AA₁⊥平面ABCD，
∵EF?平面ABCD∴AA₁⊥EF
∵ABCD為正方形
∴AC⊥BD
∵EF∥BD∴AC⊥EF．
 又因為AA₁∩AC=A，
所以EF⊥平面AA₁C．
∵EF?平面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而利用有關的定理解決點、線、面之間的位置關系．