Question

設(shè)定點M（3，）與拋物線＝2x上的點P的距離為，P到拋物線準(zhǔn)線l的距為，則＋取最小值時，P點的坐標(biāo)為

A．（0，0）

B．（1，）

C．（2，2）

D．（，－）

Answer 1

C

試題分析：先判斷出M（3，）在拋物線=2x的外部然后做出圖形（如下圖）則PM=d₁過p作PN⊥直線x=則PN=d₂，根據(jù)拋物線的定義可得d₁+d₂=PM+PF故要使取最小值則只有當(dāng)P，M，F(xiàn)三點共線時成立因此可求出MF所在的直線方程然后與拋物線的方程聯(lián)立即可求出P點的坐標(biāo)．
∵（3，）在拋物線=2x上且＞∴M（3，）在拋物線=2x的外部，∵拋物線y²=2x的焦點F（，0），準(zhǔn)線方程為x=-∴在拋物線=2x上任取點P過p作PN⊥直線x=則PN=
∴根據(jù)拋物線的定義可得=PF，∴ =PM+PF，∵PM+PFMF，∴當(dāng)P，M，F(xiàn)三點共線時d₁+d₂取最小值，此時MF所在的直線方程為y-=（x-3）即4x-3y-2=0，令4x-3y-2=0， =2x，聯(lián)立方程組得到 x-=2,y=2,即當(dāng)點的坐標(biāo)為（2，2）時,取最小值，故選C
點評：本題主要考察拋物線的性質(zhì)，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是將d₁+d₂=PM+PN根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為=PM+PF.