Question

（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）

設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

（1）若，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；

（2）試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”，為什么？

（3）設(shè)是數(shù)列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.

Answer 1

略

解析:

（1）證明：，--------------------------------------------1分

對任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，則有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分

令，-----------------------------------------9分

所以數(shù)列不是封閉數(shù)列；---------------------------------------------------10分

（3）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------11分

于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。-------------------------------13分

若則，所以，-----------------------14分

若，則，所以，------------------------16分

若，則，于是

，所以，------------------------------------------17分

綜上所述，，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。---------------- 18分