Question

設函數f（x）=x²-alnx與g（x）=x-a

x

的圖象分別交直線x=1于點A，B，且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線平行．
（1）求函數f（x），g（x）的表達式；
（2）設函數h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的最小值；
（3）若不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，求出g（x）的導函數，由兩函數的圖象交直線x=1且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線平行，得到x=1時，兩導函數的值相等，即可列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a的值代入即可確定出f（x）和g（x）的表達式；
（2）把（1）中確定出的f（x）和g（x）代入即可確定出h（x），求出h（x）的導函數，根據負數沒有對數及平方根得到x大于0，然后分x大于0小于1和x大于1兩種情況討論導函數的正負，即可得到函數h（x）的單調性，根據函數的增減性即可得到h（x）的最小值；
（3）由x的范圍，得到g（x）小于0，f（x）大于1，所以當m大于等于0時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立；當m小于0時，求出mg（x）的最大值為-m，不等式要恒成立，即要-m小于等于1，即可求出此時m的范圍，綜上，得到不等式恒成立時m的范圍．

解答：解：（1）由f（x）═x²-alnx得：f′（x）=

2x2-a

x

，由g（x）=x-a

x

得：g′（x）=

2 x -a

2 x

．
又由題意可得f′（1）=g′（1），即2-a=

2-a

2

，
故a=2，所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x²-x-2lnx+2

x

得：
h′（x）=2x-1-

2

x

+

1

x

=

( x -1)[2( x +1)(x+1)- x ]

x

，
由x＞0可知：2（

x

+1）（x+1）-

x

＞0．
故當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數h（x）的最小值為h（1）=1²-1-2ln1+2

1

=2；
（3）當x∈（0，4）時，g（x）=x-2

x

=(

x

-1)2-1＜0，而f（x）=x²-2lnx≥1，
當m≥0時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．
當m＜0時，m•g（x）的最大值為m•g（1）=-m，
故要使f（x）≥m•g（x）恒成立，則必需-m≤1，即m≥-1．
事實上，當x=1時，m=-1．故可知此時-1≤m＜0．
綜上可知當m≥-1時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時滿足的條件及導數在最大值、最小值問題中的應用，是一道中檔題．